Berechnungen zur Funktionalen Sicherheit
Größen, Formeln und Methoden

C Weitere Verteilungsfunktionen

C.1 Normal-Verteilung

Die Normal-Verteilung hat die Dichtefunktion

\begin{equation} f(t)=\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^2}}\,\mathrm {e}^{-\,\dfrac {(t-\mu )^2}{2\sigma ^2}} \end{equation}

mit dem Mittelwert \(\mu =\mathrm {MTTF}\) und der Standardabweichung \(\sigma \). Dabei ist zu beachten, dass die Funktion bereits bei \(t=-\infty \) beginnt bzw. dieser Anteil nicht zu 0 gesetzt werden kann.

Die Verteilungsfunktion ist folglich gegeben durch

\begin{equation} F(t)=\int \limits _{-\infty }^x f(t) dt = \frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^2}} \int \limits _{-\infty }^x \mathrm {e}^{-\,\dfrac {(t-\mu )^2}{2\sigma ^2}} dt =\num {0,5}\left (1+\mathrm {erf}\left (\dfrac {t-\mu }{\sqrt {2\sigma ^2}} \right )\right ) \end{equation}

wobei \(\mathrm {erf(x)}\) die sogenannte Fehlerfunktion ist. Für dieses Integral existiert keine geschlossene Darstellung, es muss daher immer numerisch bestimmt werden. Entsprechend gibt es auch für die Ausfallrate \(h(t)\) keine geschlossene Darstellung.

Die Abbildung 40 zeigt eine Normal-Verteilung mit Mittelwert \(\mu =\SI {1e6}{\hour }\) und Standardabweichung \(\sigma =\SI {1e5}{\hour }\).

(image)

Abbildung 40: Normal-Verteilung mit Mittelwert \(\mu =\SI {1e6}{\hour }\) und Standardabweichung \(\sigma =\SI {1e5}{\hour }\)
C.2 Gleichverteilung

Die Gleichverteilung zeichnet sich durch eine konstante Ausfalldichte \(f(t)=\mathrm {const}\) innerhalb eines Intervalls \(t_1 \dots t_2\) aus. Außerhalb dieses Intervalls ist sie 0. Sie wird daher auch Rechteckverteilung genannt. Sie kommt in der Natur und Technik nicht vor, eignet sich jedoch für Gedankenexperimente oder zur Plausibilisierung von Formeln.

\begin{equation} f(t)=\dfrac {1}{t_2 - t_1} \quad \text {f\"ur } t_1 \leq t < t_2 \quad \text {, sonst 0} \end{equation}

\begin{equation} F(t)=\begin{cases} 0 & \text {f\"ur } t<t_1 \\ \dfrac {t-t_1}{t_2-t_1} & \text {f\"ur } t_1 \leq t < t_2 \\ 1 & \text {f\"ur } t \geq t_2 \end {cases} \end{equation}

\begin{equation} R(t)=\begin{cases} 1 & \text {f\"ur } t<t_1 \\ \dfrac {t_2-t}{t_2-t_1} & \text {f\"ur } t_1 \leq t < t_2 \\ 0 & \text {f\"ur } t \geq t_2 \end {cases} \end{equation}

\begin{equation} h(t)=\dfrac {\,\frac {1}{t_2-t_1}\,}{\frac {t_2-t}{t_2-t_1}} =\frac {1}{t_2-t_1} \cdot \frac {t_2-t_1}{t_2-t} =\frac {1}{t_2-t} \quad \text {f\"ur } t_1 \leq t < t_2 \quad \text {, sonst 0} \end{equation}

\begin{equation} \mathrm {MTTF}=\int \limits _{t_1}^{t_2} t \cdot \frac {1}{t_2 - t_1} \,dt = \frac {1}{t_2-t_1} \left [ \frac {t^2}{2} \right ]_{t_1}^{t_2} \\ = \frac {1}{t_2-t_1} \, \frac {t_2^2-t_1^2}{2} = \frac {t_1+t_2}{2} \end{equation}

Eine Gleichverteilung ist in Abbildung 41 dargestellt. Man sieht, dass die Ausfallrate \(h(t)\) für \(t \rightarrow t_2\) gegen unendlich geht, also bei \(t_2\) eine Polstelle hat.

(image)

Abbildung 41: Gleichverteilung zwischen \(t_1\) und \(t_2\)
C.3 Delta-Verteilung

Die Delta-Verteilung ist die mathematische Beschreibung des Determinismus: Nur zum Zeitpunkt \(T\) nimmt die Dichte \(f(t)\) einen Wert ungleich 0 an. Die Dichte muss also die Eigenschaft eines Dirac-Stoßes der Höhe 1 zum Zeitpunkt \(T\) haben:

\begin{equation} f(t)=\delta (t-T) \end{equation}

Dabei ist \(\delta (t)\) die Dirac-Funktion mit der Eigenschaft \(\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (t)\,dt=1\). Zum Zeitpunkt \(T\) springt also die Unzuverlässigkeit von 0 auf 1:

\begin{equation} F(t)=\int \limits _{0}^{\infty } f(t)\,dt =\int \limits _{0}^{\infty } \delta (t-T)\,dt =\sigma (t-T) \end{equation}

Dabei bezeichnet \(\sigma (t-T)\) die Einheitsprung-Funktion zur Zeit \(T\). Für die Zuverlässigkeit ergibt sich unmittelbar:

\begin{equation} R(t)=1-\sigma (t-T) \end{equation}

Die MTTF ist offensichtlich \(T\), was sich auch rechnerisch ergibt:

\begin{equation} \mathrm {MTTF}=\int \limits _{0}^{\infty } t \cdot \delta (t-T) \,dt = T \end{equation}

Die Delta-Verteilung ist ein Spezialfall zahlreicher Verteilungen, zum Beispiel der Gleichverteilung (nämlich für \(t_1 \rightarrow t_2\)) oder der Normalverteilung (für Streuung \(\sigma \rightarrow 0\)).