Berechnungen zur Funktionalen Sicherheit
Größen, Formeln und Methoden
C Weitere Verteilungsfunktionen
C.1 Normal-Verteilung
Die Normal-Verteilung hat die Dichtefunktion
mit dem Mittelwert und der Standardabweichung . Dabei ist zu beachten, dass die Funktion bereits bei beginnt bzw. dieser Anteil nicht zu 0 gesetzt werden kann.
Die Verteilungsfunktion ist folglich gegeben durch
wobei die sogenannte Fehlerfunktion ist. Für dieses Integral existiert keine geschlossene Darstellung, es muss daher immer numerisch bestimmt werden. Entsprechend gibt es auch für die Ausfallrate
keine geschlossene Darstellung.
Die Abbildung 40 zeigt eine Normal-Verteilung mit Mittelwert und Standardabweichung .
Abbildung 40: Normal-Verteilung mit Mittelwert und Standardabweichung
C.2 Gleichverteilung
Die Gleichverteilung zeichnet sich durch eine konstante Ausfalldichte innerhalb eines Intervalls aus. Außerhalb dieses Intervalls ist sie 0. Sie wird daher auch Rechteckverteilung genannt. Sie kommt
in der Natur und Technik nicht vor, eignet sich jedoch für Gedankenexperimente oder zur Plausibilisierung von Formeln.
Eine Gleichverteilung ist in Abbildung 41 dargestellt. Man sieht, dass die Ausfallrate für gegen unendlich
geht, also bei eine Polstelle hat.
Abbildung 41: Gleichverteilung zwischen und
C.3 Delta-Verteilung
Die Delta-Verteilung ist die mathematische Beschreibung des Determinismus: Nur zum Zeitpunkt nimmt die Dichte einen Wert ungleich 0 an. Die Dichte muss also die Eigenschaft eines Dirac-Stoßes der Höhe 1 zum
Zeitpunkt haben:
Dabei ist die Dirac-Funktion mit der Eigenschaft . Zum Zeitpunkt springt also die Unzuverlässigkeit von 0 auf 1:
Dabei bezeichnet die Einheitsprung-Funktion zur Zeit . Für die Zuverlässigkeit ergibt sich unmittelbar:
Die MTTF ist offensichtlich , was sich auch rechnerisch ergibt:
Die Delta-Verteilung ist ein Spezialfall zahlreicher Verteilungen, zum Beispiel der Gleichverteilung (nämlich für ) oder der Normalverteilung (für Streuung ).